Pierścień ideałów głównych (także pierścień głównyBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 299.) – pierścień komutatywny, którego każdy ideał jest ideałem głównymJerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , ; s. 173, definicja 126.. Jeżeli tylko skończenie generowane ideały są główne, to pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta (por. dziedzina Bézouta).
Własności Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim, ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.
Każdy pierścień główny jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
Każde dwa elementy pierścienia ideałów głównych mają największy wspólny dzielnik który daje się zapisać w postaci dla pewnych
W pierścieniu ideałów głównych element jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem.
W pierścieniu ideałów głównych każdy ideał pierwszy jest maksymalny.
Przykłady Pierścieniami głównymi są: dziedzina ideałów głównych, pierścień Euklidesa, pierścień liczb całkowitych, pierścień wielomianów o współczynnikach w dowolnym ciele, ciało,
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Principal ideal ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Rodzaje pierścieni