Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli jest tak zwanym pojęciem forsingu, to elementy zbioru są nazywane warunkami, a dla liczb , takich że: , przyjmujemy, że mówimy, że warunek jest silniejszy niż warunek . Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Szelach i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole’a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsinguJohn P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise’a. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ..

Związek z zupełnymi algebrami Boole’a Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole’a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole’a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór jest regularnie otwarty jeśli (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:       oraz  

Wówczas jest zupełną algebrą Boole’a.

Powiemy, że częściowy porządek jest separatywny jeśli dla każdych warunków takich że można znaleźć warunek który jest silniejszy niż q (tzn. ) oraz sprzeczny z p (tzn. nie ma żadnego warunku który by spełniał jednocześnie oraz ).

Przypuśćmy teraz, że jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla połóżmy Wówczas rodzina jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze Każdy zbiór jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry (tzn. każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór zawiera pewien zbiór ).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole’a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu tożsamościowego na )

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień, aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu. Forsing CohenaCohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.: warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych, porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli wtedy i tylko wtedy, gdy ); powyżej, symbol oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i ).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa gdzie jest -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej a jest rodziną wszystkich zbiorów które są pierwszej kategorii. Forsing SolovayaSolovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. „Ann. of Math.” (2) 92 1970 s. 1–56.: warunkami są te domknięte podzbiory które mają dodatnią miarę Lebesgue’a, porządkiem jest relacja zawierania (tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy ).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa gdzie jest -ciałem borelowskich podzbiorów a jest rodziną tych zbiorów które są miary zero. Forsing LaveraLaver, Richard: On the consistency of Borel’s conjecture. „Acta Math.” 137 (1976), no. 3-4, s. 151–169.: warunkami są zbiory skończonych ciągów liczb naturalnych takie że (a) oraz (b) jest nieskończony]). porządkiem jest relacja zawierania (tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy ). Forsing MathiasaMathias, A.R.D.: Happy families. „Ann. Math. Logic” 12 (1977), no. 1, s. 59–111.: warunkami są pary takie, że jest skończonym zbiorem liczb naturalych, jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy, gdy oraz Forsing Hechlera: warunkami są pary takie, że jest liczbą naturalną, a jest funkcją. porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i Forsing Sacksa: warunkami są doskonałe podzbiory prostej rzeczywistej porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu. Niech będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu ozn. spełnia -cc, jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż . Jeśli spełnia -cc to mówimy wtedy też, że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc („countable chain condition”) Dla liczby kardynalnej , powiemy, że pojęcie forsingu jest -domknięte, jeśli każdy łańcuch w mocy mniejszej niż ma ograniczenie dolne. Niech będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż . Przypuśćmy, że jest pojęciem forsingu, zaś jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że . Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym, jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu , mamy dla każdego , jeśli , są niesprzeczne, to wtedy: (Przypomnijmy, że warunki , są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek , taki że jest on silniejszy, niż oba te warunki.) Definicja. Mówimy, że pojęcie forsingu jest properSzelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. .Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360., jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej istnieje taki, że: jeśli jest przeliczalnym elementarnym podmodelem dla , oraz , to wtedy istnieje warunek , który jest -generyczny.

Zobacz też Aksjomat Martina PFA (proper forcing axiom)

Przypisy

Kategoria:Forsing