thumb|Inwolucja zbioru
Inwolucja – funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.
Z powyższych definicji wynika, że inwolucja musi być funkcją zbioru w ten sam zbiór: Definicja przez warunek uogólnia się w teorii kategorii na morfizmy.
Własności Każda inwolucja, jako funkcja odwracalna, jest bijekcją (w przypadku morfizmów – izomorfizmem). Ponadto dla dowolnego jest
Jeśli oznacza zbiór wszystkich funkcji zaś jest inwolucją, to funkcja dana wzorem
jest inwolucją. Podobnie jeżeli funkcja zdefiniowana jest wzorem
to jest ona inwolucją (własności te zachodzą dla morfizmów w dowolnej kategorii).
Przykłady mały|Wykres funkcji y=1/x – przykładowej inwolucji zbioru niezerowych liczb rzeczywistych
Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe. Inwolucją jest funkcja czyli kwadratu kartezjańskiego zbioru w siebie dane wzorem zbiorem jej punktów stałych jest przekątna Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. transpozycja macierzy (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez transpozycję ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi). Zmiana znaku jest inwolucją w dowolnej grupie (w notacji addytywnej), a więc pierścieniu (np. liczb całkowitych) czy ciele (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych); odwrotność jest inwolucją w grupie elementów odwracalnych (grupie multiplikatywnej ciała, np. liczb wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest sprzężenie. W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz odwracanie macierzy. Z punktu widzenia algebry, a w szczególności teorii grup zasadniczo inwolucją nazywa się element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli element neutralny; wynika to stąd, iż tworzą one podgrupę grupy symetrycznej złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. Grupy Coxetera to grupy generowane przez inwolucjeNicolas Bourbaki, Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.. W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie (m.in. symetria płaszczyznowa, osiowa, środkowa) oraz inwersja. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykładS. López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.. W teorii zbiorów inwolucjami są różnica symetryczna z ustalonym zbiorem czy dopełnienie zbioru (do przestrzeni), które jest inwolucją także w dowolnej algebrze Boole’a. W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13. W teorii grafów inwolucją na zbiorze grafów planarnych jest graf dualny. W genetyce inwolucją jest nić komplementarna DNA.
Zobacz też
działanie grupy na zbiorze
Przypisy
Linki zewnętrzne Involution , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-27].
Kategoria:Typy funkcji matematycznych Kategoria:Teoria grup Kategoria:Algebraiczne własności elementów