Prawo Biota-Savarta – prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.
W elektromagnetyzmie Wyprowadzenie Prawo Biota-Savarta dla pola magnetycznego można wyprowadzić z równań Maxwella lub z prawa Gaussa dla elektryczności i równań transformacji relatywistycznej pól elektrycznych i magnetycznych w szczególnej teorii względności:
Połączenie powyższych wzorów określa pole magnetyczne wytwarzane przez poruszający się ładunek punktowy, co odpowiada polu wytwarzanemu przez prąd płynący w nieskończenie cienkim i krótkim przewodniku:
gdzie: – punktowy ładunek elektryczny, – prędkość ładunku , – przenikalność magnetyczna próżni (w henrach na metr).
Przyczynek do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości przewodnika z prądem o natężeniu
thumb|300px|Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej
gdzie: (zob. Przenikalność magnetyczna), – natężenie prądu, wyrażone w amperach, – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długości elementu przewodnika, – wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola, – odległość elementu przewodnika od punktu pola.
Inna postać wzoru:
gdzie to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru
Przewodnik prostoliniowy Niech przez prostoliniowy przewodnik o nieskończonej długości płynie prąd o natężeniu Zapiszmy skalarną postać przyczynku do pola indukcji magnetycznej:
Ze wzoru tego można wyprowadzić prawo Grassmanna.
Nieskończony przewód można myślowo podzielić na dwa fragmenty. Górna „połowa” od wycinka przewodu do nieskończoności oraz dolna „połowa” w zakresie od minus nieskończoności do 0. Bez dowodu przyjmujemy, że obie „połowy” są sobie równe.
Aby otrzymać wartość indukcji magnetycznej w odległości od przewodnika o natężeniu całkujemy skalarny przyczynek do indukcji magnetycznej.
nie są niezależne, w związku z czym do obliczenia powyższej całki należy poszukać zależności, które je łączą.
Studiując ilustrację zawartą w artykule, można, wprowadzając zmienną będącą najkrótszą odległością do przewodu, wypisać następujące związki:
Podstawiając powyższe zależności do całki, otrzymujemy ostateczną postać wzoru na indukcję magnetyczną:
Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika.
Przewodnik kołowy W przypadku przewodnika o innej geometrii indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać, całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu w próżni indukcję określa wzór:
Rozciągły obszar z prądem Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:
gdzie: – gęstość prądu, – element objętości.
Poruszający się ładunek
gdzie: – przyczynek ładunku elektrycznego, – prędkość ładunku.
Pole w danym punkcie Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się, całkując różniczkowe elementy indukcji wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.
Wnioski Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).
Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego linie pola magnetycznego mają kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik.
W mechanice płynów Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki: przewodnik elektryczny – struga wirowa, natężenie prądu – cyrkulacja strugi, wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu.
Prawo można sformułować w postaci:
Prędkość indukowana w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości określa wzór:
gdzie: – cyrkulacja strugi.
Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:
Zobacz też Jean-Baptiste Biot Félix Savart prawo Ampère’a
Przypisy
Kategoria:Prawa elektromagnetyczne