thumb|Henri Lebesgue Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że całka Lebesgue'a funkcji będącej punktową granicą niemalejącego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest granicą ciągu całek z tych funkcji.
Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.
Twierdzenie Załóżmy że: (a) jest przestrzenią mierzalną z miarą, (b) (dla ) jest ciągiem funkcji mierzalnych, (c) dla każdego (d) funkcja jest zdefiniowana jako granica dla
Wówczas funkcja jest mierzalna, ponadto [dostęp 2025-07-16].
Powyższe twierdzenie dopuszcza przypadek, w którym funkcje oraz przyjmują wartość , jak również przypadek, gdy granica całek jest nieskończona. Twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego
Szkic dowodu Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(d). Jak wspomnieliśmy, jest mierzalna. Ponieważ ciąg jest monotonicznie niemalejący (na mocy założenia (c)), więc jest on zbieżny, być może do granicy nieskończonej. Niech
Przypuśćmy, że jest całkowalną funkcją prostą taką, że Ustalmy na jakiś czas liczbę Dla liczby naturalnej połóżmy
Oczywiście, (jako że zarówno jak i są mierzalne) oraz (używamy tu założenia (c)). Ponieważ ilekroć to używając założenia (d) widzimy, że Zauważmy, że (i)
Następnie, pamiętając że jest funkcją prostą, sprawdza się że (ii)
Przechodząc z do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby to otrzymujemy iż
Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej spełniającej nierówności mamy, że a więc funkcja spełnia (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całki Lebesgue'a z funkcji mierzalnej nieujemnej.) Ponieważ jednocześnie (jako że ), to mamy też
Zastosowania Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou. Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach ) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:
Zobacz też całka Lebesgue’a funkcja całkowalna lemat Fatou twierdzenie Fubiniego twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej twierdzenie Vitalego o zbieżności
Przypisy
Bibliografia
Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej