Dzielnik zera – element pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element spełniający Zero divisor , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05]..
W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.
Własności Zbiór dzielników zera pierścienia w którym istnieją właściwe dzielniki zera, jest sumą mnogościową ideałów pierwszych. Dowód Niech będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny generowany przez jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny Ponieważ jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności). Dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym. Dowód: Gdyby dla elementu istniały elementy i takie, że to:
wbrew założeniu.
Przykłady W pierścieniu właściwymi dzielnikami zera są i bowiem W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest bowiem W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są i bowiem W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa ponieważ
Zobacz też dziedzina całkowitości element odwracalny pierścienie Zn pierścień
Przypisy
Kategoria:Własności elementów pierścieni