Funkcja σ (sigma), niekiedy – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo:

Sumę -tych potęg dzielników oznacza się przez na przykład to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność nadmiarowymi, a nierówność deficytowymi.

Twierdzenie Jeśli ma rozkład na czynniki pierwsze postaci to

Dowód Każdy dzielnik naturalny liczby można przestawić w postaci:

gdzie:

Ponieważ różnym układom liczb spełniającym odpowiadają różne dzielniki więc:

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające .

Każdy składnik sumy występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

Z kolei -ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie więc

Stąd teza.

Bibliografia

Kategoria:Funkcje arytmetyczne Kategoria:Teoria podzielności