Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od i ).
W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.
Funkcja n-krotnie różniczkowalna Definicja:
(1) Jeżeli funkcja ma pochodną określoną w zbiorze oraz funkcja ma pochodną określoną w zbiorze to mówimy, że jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze funkcja jest drugą pochodną funkcji określoną na zbiorze (2) Funkcję nazywa się -krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.
Funkcja klasy Cn Motywacja Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy Szerszą klasę funkcji o których pochodnych nie zakładamy ciągłości nazywamy Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna -tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy Klasa określa funkcje ciągłe - nie muszą być różniczkowalne w ani jednym punkcie.
Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.
Definicje klas funkcji (1) Funkcję określoną na przedziale nazywa się funkcją klasy gdzie jeżeli w przedziale ma ciągłych pochodnych.
(2) Funkcje klasy to funkcje ciągłe.
(3) Funkcje klasy (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę nazywa się też klasą funkcji gładkich.
Przykłady Funkcja klasy jest funkcją ciągłą, której pochodna też jest ciągła. Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy Funkcja jest klasy ale nie klasy Funkcja dana wzorem:
jest klasy ale nie jest klasy
Zobacz też
funkcja całkowalna funkcja holomorficzna
Przypisy
Różniczkowalna Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy