Kryterium Weierstrassa – twierdzenie będące warunkiem wystarczającym zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Karla Weierstrassa. Kryterium to mówi, że jeżeli jest ciągiem funkcji określonych na dowolnym zbiorze o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że
dla każdego elementu zbioru oraz szereg liczbowy
jest zbieżny, to szereg funkcyjny
jest zbieżny jednostajnie w Ciąg nazywany jest majorantą ciągu funkcyjnego Kryterium pozostaje prawdziwe dla ciągów funkcyjnych o wartościach w przestrzeniach Banacha.
Dowód Niech Skoro szereg
jest zbieżny, to istnieje taka liczba że dla każdego mamy
Zatem dla dowolnej liczby mamy
Oznacza to, że szereg
spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, a w konsekwencji jest on zbieżny jednostajnie. Zatem szereg funkcyjny
jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny.
Zobacz też kryterium Abela kryterium Dirichleta zbieżność punktowa zbieżność monotoniczna
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-15]. Weierstrass criterion (for uniform convergence) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Twierdzenia o szeregach funkcyjnych Weierstrassa