thumb|350px Twierdzenie Eulera – twierdzenie matematyczne, opisujące relację między okręgami opisanym i wpisanym w trójkąt.
Teza Jeżeli w danym trójkącie jest odległością pomiędzy środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego, to zachodzi
gdzie i oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego.
Dowód Niech: będzie środkiem okręgu o promieniu opisanego na danym trójkącie środkiem okręgu o promieniu wpisanego w ten trójkąt.
Dwusieczna kąta przecina okrąg opisany w pewnym punkcie który połowi łuk
Niech prosta przecina okrąg opisany w punkcie
Niech będzie rzutem prostokątnym na
Trójkąty i są podobne (cecha: równość kątów), a zatem czyli tzn. Rozważmy trójkąt
Ponieważ
( jest dwusieczną kąta ),
więc i skąd Niech prosta przecina okrąg opisany w punktach i Wtedy czyli tzn.
Uwagi Z twierdzenia tego wynika nierówność Eulera Wojciech Guzicki, O niektórych twierdzeniach Eulera, Uniwersytet w Siedlcach, smp.uph.edu.pl, 2007, s. 2 [dostęp 2025-08-13].:
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o okręgach i trójkątach Kategoria:Leonhard Euler