Niezmiennik (inwariant) – cecha lub właściwość, która jest stała (nie zmienia się) w trakcie przekształceń, procesów przemiany itp.
Bardziej formalnie, jeśli klasa obiektów wyposażona jest w relację równoważności ρ, a jest dowolnym zbiorem, to niezmiennikiem (relacji równoważności ρ) nazywamy dowolną funkcję stałą na klasach abstrakcji relacji ρ. Nieco ściślej możemy wtedy mówić o niezmienniku relacji równoważności ρ. Jeśli to często się mówi, że jest niezmiennikiem obiektu .
Problem istnienia niezmienników jest ściśle związany z problemami klasyfikacji obiektów matematycznych. Celem każdej klasyfikacji matematycznej jest bowiem skonstruowanie zupełnego układu niezmienników.
Termin „niezmiennik” został wprowadzony przez amerykańskiego matematyka Jamesa Josepha Sylvestra w roku 1851.
Przykłady niezmienników Niech będzie zbiorem płaskich krzywych rzeczywistych drugiego stopnia, a relacja ρ niech będzie relacją zdefiniowaną następująco: krzywa jest równoważna krzywej wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem izometrycznym drugiej. Jeśli krzywa jest w kartezjańskim układzie współrzędnych dana równaniem
to liczby
nie zależą od wyboru układu współrzędnych, choć samo równanie linii zależy. Dwie krzywe są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy wielkości są dla nich takie same. Każda z tych wielkości jest funkcją stałą na klasach abstrakcji relacji równoważności ρ, a więc jest niezmiennikiem określonym na Niech będzie zbiorem uporządkowanych czwórek współliniowych punktów rzeczywistej przestrzeni rzutowej. Dwie czwórki są równoważne, jeśli jedna z nich jest obrazem drugiej przy przekształceniu rzutowym przestrzeni. Jak wiadomo, przekształcenie rzutowe nie zmienia dwustosunku czwórek uporządkowanych punktów współliniowych, czyli dwustosunek jest ich niezmiennikiem. Według Kleina geometria afiniczna przestrzeni trójwymiarowej jest teorią niezmienników grupy przekształceń liniowych zawierającej: przesunięcia równoległe, obroty dokoła środka układu współrzędnych O, symetrie względem tego samego środka O, homotetie o środku O. W oryginalnym tekście Klein nie używa co prawda nazwy geometria afiniczna, ale z wyszczególnienia przekształceń wynika, że o tę geometrię mu chodziło. Takimi cechami niezmienniczymi są na przykład: równoległość prostych, leżenie punktów na jednej prostej, leżenie punktów na jednej płaszczyźnie.
Zobacz też całka ruchu niezmiennik j niezmiennik metryczny niezmiennik pętli niezmiennik przekształcenia niezmiennik przekształcenia geometrycznego niezmiennik relatywistyczny niezmiennik topologiczny
Przypisy
Linki zewnętrzne Invariant , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05]. Invariants, theory of , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-31].
Kategoria:Terminologia matematyczna Kategoria:Zasady zachowania