Podstawowe typy różnic skończonych thumb|Trzy typy różnic skończonych: backward (w tył), central (centralna), forward (w przód). Różnica centralna wokół x daje najlepsze przybliżenie pochodnej funkcji w punkcie
Podstawowym pojęciem rachunku różnicowego jest pojęcie różnic skończonych. Rozważa się trzy podstawowe typy różnic skończonych: różnica w przód, różnica w tył oraz różnica centralna.
Różnica w przód dla funkcji używa wartości funkcji w punktach i
W zależności od zastosowania odległość może być zmienna lub stała.
Gdy nie jest podane, domyślnie przyjmuje wartość 1, czyli
Różnica w tył używa wartości funkcji w punktach i zamiast wartości w punktach i
Różnica centralna określona wzorem:
Pochodna funkcji jednej zmiennej i wzór różnicowy Pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej pochodną definiuje się za pomocą granicy ilorazu różnicowego
W matematyce dyskretnej odpowiednikiem tego wzoru jest wzór różnicowy:
Różnice skończone dla funkcji wielu zmiennych Oblicza się także różnice skończone w przypadku funkcji wielu zmiennych; są one dyskretnym odpowiednikiem pochodnych cząstkowych. Np. dla pochodnych pierwszego i drugiego rzędu mamy następujące wzory:
Rachunek różnicowy na funkcjach ze zbioru liczb naturalnych W przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej pochodną definiuje się jako
W dziedzinie ciągów liczbowych czy w kombinatoryce operujemy na funkcjach o dziedzinie liczb naturalnych, W tym przypadku do wartości możemy się zbliżyć najbliżej na odległość równą 1, czyli obliczamy Dlatego
Odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tu tzw. potęga krocząca ubywająca lub przyrastająca Działanie operatora na funkcję daje w wyniku:
Jest to wzór analogiczny do pochodnej funkcji potęgowej
Operator podobnie jak operator jest przekształceniem liniowym:
Istnieje operacja odwrotna do różnicowania – jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności
co przypomina wzór na całkę
Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.
Zobacz też matematyka dyskretna
Bibliografia W języku polskim Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312. D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43. J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157. A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.
W innych językach
Linki zewnętrzne Finite-difference calculus , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18]. Matematyka dyskretna