Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej – twierdzenie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.
Teza mały|300px|Dwusieczną jest tu odcinek CD
Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków Dwusieczna kąta. Podstawowe twierdzenia, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 17 września 2018 [dostęp 2024-10-06]..
W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:
Dowód Sposób 1. mały|300px
Z punktu prowadzi się półprostą prostopadłą do dwusiecznej w punkcie przecina ona również przedłużenie boku w pewnym punkcie Zauważyć trzeba, że i
Następnie należy poprowadzić przez prostą równoległą do boku – przecina ona prostą w pewnym punkcie Trójkąty i są przystające, a więc Z podobieństwa trójkątów i wynika, że:
czyli
Sposób 2. mały|300px
Niech:
Na mocy twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów i prawdziwa jest równość:
a także
Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę:
Sposób 3 Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli Lewą stronę można zapisać jako:
Stąd co należało wykazać.
Uogólnienie mały|300px
Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli leży na prostej i punkt na niej nie leży, to:
Dowód uogólnienia Spodki wysokości w trójkątach i z odpowiednio wierzchołków i oznaczone są odpowiednio jako i Wtedy:
Ponadto zarówno kąt jak i są proste, a kąty i są wierzchołkowe, jeśli leży na odcinku a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty i są podobne, a więc:
co kończy dowód.
Zobacz też twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie
Przypisy
Linki zewnętrzne Henryk Dąbrowski, Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-10-06]. Krzysztof Chojecki, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-10-06]: Dowód twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie, 17 maja 2013. Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, 17 maja 2013.
O dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta