Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.

Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych Definicja Przy określonym porządku zbiór nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.

Przykłady i własności Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem). Porządek częściowy jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy. Twierdzenie Dilwortha mówi, że częściowy porządek nie zawiera elementowych antyłańcuchów wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą łańcuchów. Twierdzenie Spernera mówi, że jeśli jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego elementowego zbioru a porządek jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w ma co najwyżej elementów.

Antyłańcuchy w teorii forsingu Definicja Niech będzie pojęciem forsingu. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne warunki są sprzeczne, tzn.

Pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.

-cc Niech będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu spełnia -cc, jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż Jeśli spełnia -cc, to mówimy wtedy też, że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc.

Nazwa -cc jest skrótem angielskiego wyrażenia -chain condition (warunek -łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi, że najmniejsza liczba kardynalna dla której pojęcie forsingu spełnia warunek -cc, musi być regularna.

Przykłady i własności Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc. Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc. Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum. Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających -cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe

Antyłańcuchy w algebrach Boole’a Definicja Ponieważ algebry Boole’a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole’a. Niech będzie algebrą Boole’a. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa różne elementy są rozłączne, tzn.

Celularność Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole’a. Celularność algebry Boole’a jest to supremum mocy antyłańcuchów w

Mówimy, że algebra Boole’a spełnia ccc, jeśli

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi, że jeśli celularność algebry Boole’a jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch mocy

Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07].

Kategoria:Porządki