Zgodność relacji z działaniem – pojęcie algebry wyższej; własność pewnych relacji – zwłaszcza dwuczłonowych – określonych na strukturach algebraicznych.
Niech będzie działaniem dwuargumentowym a – relacją dwuczłonową na zbiorze czyli Mówi się, że relacja jest zgodna z działaniem jeśli zachodzi implikacja:
Innymi słowy: dowolne dwa zdania wyrażające tę relację wolno ze sobą łączyć, wykonując odpowiednie działania. Mawia się też, że relacja zachowuje działanie . Przykładem jest standardowy porządek liczb rzeczywistych – jest zgodny z dodawaniem takich liczb:
Zgodność relacji z działaniem bywa istotna zarówno w matematyce elementarnej, jak i wyższej. Przykładowo występuje w algebrze abstrakcyjnej, np. w niektórych definicjach i twierdzeniach, co opisano niżej.
Przykłady Wspomniany porządek liczb rzeczywistych nie jest zgodny z takimi działaniami na tym zbiorze jak: odejmowanie: i ale mnożenie: i ale
Relacja podzbioru jest zgodna z działaniami sumy zbiorów i ich przekroju:
Rola Zgodność skierowania z działaniami pojawia się w definicjach grupy uporządkowanej oraz ciała uporządkowanego. Dowodzi się też, że przystawanie elementów grupy względem podgrupy jest zgodne z działaniem tej struktury wtedy i tylko wtedy, gdy ta podgrupa jest normalna; jest to jedna z równoważnych definicji podgrupy normalnej:
Dowodzi się też, że jeśli jakaś relacja równoważności jest zgodna z działaniem grupy, to istnieje podgrupa definiująca tę relację w powyższy sposób.
Uogólnienia Definiuje się też zgodność relacji z: działaniami zewnętrznymi; działaniami o większej liczbie argumentów.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przykłady relacji dwuczłonowych Kategoria:Algebra abstrakcyjna Kategoria:Własności relacji dwuczłonowych