Teoria kategorii – dział matematyki zapoczątkowany w 1945 przez polskiego matematyka Samuela Eilenberga i Amerykanina Saundersa Mac Lane’a. Pewne idee teorii kategorii dojrzewały wcześniej u różnych autorów, głównie w kontekście topologii algebraicznej, pojawiło się m.in. oznaczanie funkcji symbolem Dużą rolę w tych zmianach odegrał polski topolog Witold HurewiczPojęcie funktora i naturalnej transformacji funktorów w przypadku kategorii grup przedstawili Eilenberg i Mac Lane w swej pracy Natural isomorphisms in group theory, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 28 (1942), s. 537–543. Dojrzałą, aksjomatyczną teorię kategorii przedstawili w 1945 roku..
Na teorię kategorii można patrzeć rozmaicie. Można uważać ją za wyraźnie określoną teorię matematyczną, mającą swoje pojęcia pierwotne, aksjomaty, definicje, twierdzenia, dowody i bardzo ważne zastosowania w wielu innych działach matematyki, zwłaszcza w algebrze homologicznej, topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej, a także w teorii języków programowania.
Można też podejść do teorii kategorii inaczej: jako do pewnej ogólnej metody ujmowania teorii matematycznych, mającej wiele cech algebry, unifikującej – nieraz w nieoczekiwany sposób – pojęcia z różnych dziedzin, konkurującej z podejściem mnogościowym.
Punktem wyjścia teorii mnogości są pojęcia: element, zbiór i przynależenie Punktem zaś wyjścia teorii kategorii są wyidealizowane funkcje (odwzorowania), zwane morfizmami lub strzałkami, ich składanie i odwracanie, a same elementy (argumenty bądź wartości funkcji) odgrywają rolę drugorzędną (lub nieraz wcale ich nie ma). Jedną z cech kategoryjnego podejścia jest specyficzne stosowanie diagramów przemiennych.
Teoria kategorii może też służyć jako podstawa, w której ramach da się zrekonstruować teorię mnogości i tym samym też niemal całą matematykę; ponadto można użyć środków teorii kategorii do badania logicznych aspektów pewnych teorii matematycznych i informatyki, zarówno z punktu widzenia logiki klasycznej, jak i intuicjonistycznejMac Lane podaje w zarysie, jak za pomocą kilku dodatkowych aksjomatów zdefiniować kategorię zwaną elementarnym toposem, a następnie jak w takim toposie skonstruować m.in. liczby naturalne, algebry Boole’a i algebry Heytinga (S. Mac Lane, Mathematics. Form and Function, New York: Springer 1986, Chapter XI)..
Na przestrzeni lat język i sposób rozumowania typowy dla teorii kategorii przeniknęły do wielu innych działów matematyki.
Geneza pojęcia kategorii Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane swą pionierską pracęEilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, 58: 231–294; http://web.archive.org/web/20140907123850/http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf z 1945 roku zaczęli od postawienia następującego problemu. Niech dana będzie (aksjomatycznie określona) n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem i jej przestrzeń sprzężona (określona jako przestrzeń wszystkich form liniowych ). Przestrzeń jest też n-wymiarowa, zatem musi być ona izomorficzna z Jednakże niemożliwe jest wskazanie izomorfizmu bez dokonania arbitralnego wyboru: każdy izomorfizm zależy od wybrania bazy w przestrzeni Izomorfizmu oraz można dowieść, wskazując ich izomorfizmy z przestrzenią współrzędnych (por. pojęcie bazy dualnej).. Wiadomo natomiast, że przyporządkowując każdemu wektorowi przestrzeni funkcjonał na tj. element przestrzeni określony wzorem dla otrzymuje się nieobarczony uznaniowym wyborem bazy, kanoniczny izomorfizm liniowy Podobnie wśród wielu innych znanych izomorfizmów w matematyce niektóre z nich narzucają się jako kanoniczne, naturalne, czy uniwersalne. Eilenberg i Mac Lane postawili pytanie: czy można podać ścisłe, matematyczne określenie owego intuicyjnego pojęcia naturalności izomorfizmu? Aby to zrealizować, zdefiniowali najpierw pojęcie kategorii, następnie pojęcie funktora z jednej kategorii do drugiej i podali definicję naturalnej transformacji funktorów i naturalnej równoważności funktorówNazwy kategoria i funktor były wcześniej używane przez matematyków w innych znaczeniach: w topologii kategorie Baire’a oraz w rachunku zdań funktory zdaniotwórcze..
W teorii kategorii można wyróżnić dziś jej część ogólną, w której fundamentalne jest pojęcie funktora sprzężonego, oraz rozmaite teorie dotyczące kategorii bardziej szczegółowych, z których najważniejsze są kategorie abelowe, ściśle powiązane z algebrą homologiczną.
Wprowadzenie w pojęcie kategorii Kategorie przekształceń Pojęcie kategorii jest uogólnieniem pojęcia grupy, w szczególności grupy przekształceń. Grupą przekształceń nazywamy dowolny zbiór przekształceńW zasadzie ogólne terminy: przekształcenie (ze zbioru w zbiór), funkcja, odwzorowanie, transformacja uznajemy tu za synonimy, a wybór, którego z nich się użyje, zależy od kontekstu i zwyczaju. Słowo „funkcja” rozumiemy tu w ogólnym sensie (por. np. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 31). spełniających następujące warunki:
Wszystkie przekształcenia są zdefiniowane na pewnym ustalonym zbiorze i ich wartości też należą do
Jeśli przekształcenia i należą do to ich złożenie określone jako też należy do
Przekształcenie tożsamościowe z do należy do
Każde przekształcenie należące do jest wzajemnie jednoznaczne, tj. różnowartościowe i na a ponadto przekształcenie odwrotne też należy do
Jeżeli odrzucimy warunek to otrzymamy pojęcie półgrupy transformacji z tożsamością.
Jeżeli ponadto odrzucimy warunek zastępując przy tym warunki i warunkami
Jeśli przekształcenia i należą do to ich złożenie też należy do
Jeśli przekształcenie należy do to przekształcenia tożsamościowe na oraz na też należą do
to otrzymamy pojęcie kategorii przekształceń. Przekształcenia należące do kategorii nazywamy morfizmami. Jeśli jest morfizmem, to nazywamy obiektami, przy czym nazywa się dziedziną lub początkiem tego morfizmu, a jego kodziedziną lub końcemKodziedzina zawiera zbiór wartości danego przekształcenia. Mac Lane używa terminów: domain i codomain, ale bywaja też używane terminy: source and target.. Obiektami mogą być zbiory, grupy lub inne twory matematyczne.
Aksjomatyczne ujęcie kategorii
Ogólna definicja kategorii jest aksjomatyczna, z pojęciami pierwotnymi: obiekt, morfizm, dziedzina morfizmu, kodziedzina morfizmu, składanie morfizmów. Zakłada się, że każdy morfizm ma dziedzinę i kodziedzinę co zapisujemy w postaci Złożenie takiego z morfizmem istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy Przyjmuje się też odpowiednio sformułowany warunek łączności tego składania. Przy tym ujęciu każdą półgrupę z jednością (czyli monoid) można traktować jako kategorię o jednym obiekcie. Klasę obiektów kategorii oznaczamy symbolem
Można też sformułować definicję kategorii inaczej, bez pojęcia obiektu, w sposób naśladujący definicję grupy, przyjmując następujące pojęcia pierwotneDefinicję tę sformułował S. Mac Lane, „Duality for groups”, Bulletin of the American Mathematical Society 56 (1950), 485-516, s. 495 .: 1) jest morfizmem, 2) złożenie istnieje i jest równe Definiuje się morfizmy tożsamościowe jako takie morfizmy że jeśli złożenie istnieje, to i jeśli złożenie istnieje, to
Jako aksjomaty przyjmuje się prawo łączności (dostosowane do sytuacji, w której pewne morfizmy nie mają złożenia) oraz istnienie morfizmów tożsamościowychOto sformułowanie tej łączności: jeśli i istnieją, to i również istnieją i są równe; jeśli istnieje, to istnieje; jeśli istnieje, to istnieje. Istnienie tożsamości znaczy, że dla każdego morfizmu istnieją tożsamości i takie, że i istnieją.. Owe tożsamości mogą zastępczo pełnić rolę obiektów.
W języku złożeń (bez odwoływania się do argumentów i wartości funkcji) definiuje się w teorii kategorii podstawowe pojęcia, takie jak izomorfizm – jest to dowolny morfizm dla którego istnieje morfizm odwrotny tzn. taki, że oba złożenia i są odpowiednimi morfizmami tożsamościowymi, monomorfizm – jest to dowolny morfizm mający lewostronną własność skracania: jeśli to (w wielu przykładach kategorii są to iniekcje, funkcje różnowartościowe), epimorfizm – jest to dowolny morfizm mający prawostronną własność skracania: jeśli to (w wielu przykładach kategorii są to suriekcje, czyli funkcje „na”, jakkolwiek gdy morfizmami są funkcje ciągłe, to wystarczy, jeśli obrazem funkcji jest zbiór gęsty), obiekt początkowy – obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm obiekt końcowy – obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm (w wielu przykładach kategorii jest to obiekt jednoelementowy), obiekt zerowy – to obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy.
Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.
Kategoria dualna i zasada dualności
Każda definicja, twierdzenie i dowód w teorii kategorii ma swój odpowiednik dualnyPojęcia te wprowadził S. Mac Lane w cytowanej powyżej pracy „Duality for groups”., otrzymany przez zamianę każdego wyrażenia typu na oraz zamianę w każdym morfizmie dziedziny na kodziedzinę i kodziedziny na dziedzinę, tzn. zastąpienie każdego przez
Do każdego pojęcia teorii kategorii można w ten sposób utworzyć pojęcie dualne. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm i odwrotnie; pojęciem dualnym do izomorfizmu jest izomorfizm. Pojęciem dualnym do obiektu początkowego jest obiekt końcowy. Jeśli pojęcie dualne nie ma nazwy, tworzy się ją, dodając przedrostek ko-.
Ponieważ aksjomaty teorii kategorii są niezmiennicze ze względu na takie zamiany, jeżeli jakieś zdanie wyrażone w terminach morfizmów i ich złożeń jest twierdzeniem teorii kategorii, to zdanie dualne, otrzymane przez opisane tu zamiany, jest też twierdzeniem, zwanym twierdzeniem dualnym.
Jeśli jest dowolną kategorią, to jej kategorią dualną (ang. opposite category) jest kategoria mająca te same obiekty, a jej morfizmami są morfizmy z z formalnie zamienionymi dziedzinami z kodziedzinami i odwróconym kierunkiem wszystkich strzałekTo nie są morfizmy odwrotne do morfizmów z bowiem na ogół te morfizmy nie są odwracalne. Zamiana kierunku strzałek i zamiana dziedziny z kodziedziną jest zabiegiem umownym, czysto formalnym.. W ten sposób morfizm w jest dualnym odpowiednikiem morfizmu kategorii
Przykłady kategorii Najprostszym, bardzo ważnym przykładem kategorii przekształceń jest kategoria Set. Jej obiektami są dowolne zbiory, a morfizmami dowolne funkcje Ściślej mówiąc, morfizmem tej kategorii nie jest sama funkcja interpretowana jako pewien zbiór par lecz trójka Jeśli np. oznacza funkcję trygonometryczną zdefiniowaną na zbiorze liczb rzeczywistych to i są dwoma różnymi morfizmami, bo mają różne kodziedziny. W przeciwieństwie do analizy matematycznej, przyjmuje się, że złożenie morfizmów typu i nie jest wykonalne; konieczne jest uwzględnienie dodatkowego pośredniego włożenia tożsamościowego Izomorfizmami w Set są bijekcje. Obiektem początkowym w Set jest zbiór pusty bowiem dla dowolnego zbioru istnieje tylko jedna funkcja mianowicie funkcja pusta.
Innym przykładem jest kategoria Grp (oznaczana też Gr), której obiektami są grupy, a morfizmami – homomorfizmy grup. Jej podkategorią jest kategoria Ab grup abelowych i homomorfizmów. Mówimy, że jest to podkategoria pełna, bo ogranicza się tu jedynie klasę obiektów do grup przemiennych, a morfizmy pomiędzy obiektami tej podkategorii pozostają nadal te same. Izomorfizmami w Grp są izomorfizmy grup.
W podobny sposób definiuje się wiele innych kategorii, przyjmując za obiekty zbiory wyposażone w jakieś struktury (algebraiczne, topologiczne, porządkowe). Morfizmami są wówczas jakieś odpowiednio zdefiniowane przekształcenia, związane z tymi strukturami.
Jedną z takich kategorii jest Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są funkcje spełniające warunek Lipschitza: